2019年临沂中考数学第25题:二次函数综合题

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今天，我想和大家分享2019年临沂中考数学第25题，主要考察二次函数的内容。中考难度大，适合基础中等以上的学生。

【例题】

25.在平面直角坐标系中，直线y=x 2与x轴交点A，与y轴交点B，抛物线y=ax^2 bx c(a通过点A的0)、B．<0)经过点A、B．

（1）求a、b满足的关系类型和c值．

(2)=ax^2 bx c(a随着x的增加，求a的值范围随着x的增加而增加．<0时，若y=ax^2 bx c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．

(3)如图所示，当a=-1时，抛物线上是否存在点P，使三角形PAB面积为1？如果存在，请求所有合格点P的坐标；如果没有，请解释原因．

【考点】二次函数综合题

[涉及知识点]数据分析概念；最终问题；函数思想；数字与数字的结合

【解题分析】

(1)分别使函数x=0，y=0求出A、可以解决B的坐标；

(2)=ax^2 bx c(a随着x的增加，函数对称轴x=-b/2a≥0，而b=2a 1，即：-2a 1/2a≥0，可以求解；<0时，若y=ax^2 bx c(a<0)的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x=-b/2a≥0，而b=2a 1，即：-2a 1/2a≥0，就可以求解；

(3)过点P作为直线l///AB，PQ//y轴交BA在点Q，PH垂直AB在点H，S三角形=1/2*AB*PH=1/2*2倍根号2*PQ*根号2/2=1，Yp-Yq的绝对值等于1，结果可以解决．

[详细解题过程]

解：（1）y=x 使x=0，则y=2，使y=0，则x=-2，

所以点A、B的坐标分别为(-2，0)、(0，2)C=2，

函数表达式为：y=ax^2 bx 2，

将点A坐标代入上式并整理出来：b=2a 1；

(2)=ax^2 bx c(a随x的增加，<0时，若y=ax^2 bx c(a<0)的函数值随x的增大而增大，

对称轴x的函数=-b/2a≥0，而b=2a 1，

即：-2a 1/2a≥0，解得：a≥-1/2，

因此，a的取值范围为:a的取值范围为:-1/2≤a<0；<0；

(3)当a=-1时，二次函数表达式为:y=-x^2-x 2，

过点P作为直线l////AB，PQ//y轴交BA在点Q，PH垂直AB在点H，

因为OA=OB，所以角BAO=角POH=45度，

S三角形PAB=1/2*AB*PH=1/2*2倍根号2*PQ*根号2/2=1，

则PQ=Yp-Yq=1，

在直线AB下方做直线m，使直线m和l与直线AB等距离，

由点AB组成的直线m和抛物线两个交点坐标的三角形面积也为1，

所以：Yp-YQ绝对值=1，

设点P（x，-x^2-x 2），则点Q(x,x 2)，

即：-x^2-x 2-x-2=±1，

解得：x=-1或-1±根号2

因此，点P(-1，2)或(-1) 根号2，根号2)或(-1-根号2)．

【本题目总结】

本课题主要考察了二次函数的分析求法和与几何图形相结合的综合能力的培养．将代数和几何图形结合起来，用点坐标的意义来表示线段的长度，从而找出线段之间的关系．

通过几道二次函数综合题的练习，我在这里也给大家总结一下二次函数常考的几类题目:

(1)二次函数图像与其他函数图像相结合

在解决这类问题时，首先根据给定的函数或函数图像判断系数符号，然后判断新函数关系中的系数符号，然后根据系数和图像的位置关系判断图像特征，符合所有特征的图像是正确的选项

(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程和几何知识结合在一起．这类试题一般比较难．解决这类问题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，利用几何图形的相关性质、定理和二次函数知识，并注意挖掘主题中的一些隐含条件．

(3)二次函数在现实生活中的应用题

分析变量之间的关系，从实际问题中建立二次函数模型．关键是观察、分析和创建直角坐标系下的二次函数图像，然后结合数字和形状来解决问题。我们需要注意的是，自变量和函数的值范围应该使实际问题有意义．

对高中入学考试数学考试满分感兴趣的学生可以在课后总结自己，仔细思考。